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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 [!b$`eI+  
hRZGmz['Ju  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ##'O=t3d  
V KM+ vk  
　　1、三角函数本质： Zp?Pj  
x?B0-~}~~  
　　三角函数的本质来源于定义 s=uMq$Rc  
?;%nJz/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0@5lfTy  
^B/jS \/Ck  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 maU4-O-"9  
x~2g F5_^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;7Kf@ eG  
0lekx  
　　推导： >q8]vC  
- #GWTd  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 k2A 7  
/j?|x4B#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v0aC{ow  
aWF1V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HDKr(+]Xk  
OkAVj4F_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T\9Rx8<Tm  
i!IH 7 (a  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6'OM '[A  
jO27h v  
　　[1] /_R'NO9  
TU = *D20  
　　两角和公式 { K-6(grF  
$x$TQcc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB CY6f{]Hp  
m0CQLUO)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  AGPFppm  
Lo[uCsy*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB BN ~oMM  
 )gtW  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB o( sqVDr6  
Kog,N-p> 1  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ^q`1o  
5A'?5E+4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) /_g]dyEO  
;A3}q/IxR  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  uAB@aiPG  
N9Rh=^[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) LAn (;  
7gtmgYG%h(  
倍角公式 q9c#Lx#  
?h cKor  
　　Sin2A=2SinA•CosA PmC(A$.[G  
=s+IxHO  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 6 !KqKK|  
b "$'&u  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） cBbW(kU  
p_KfKp9s-  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） wK $=Q M  
Z/,Gm8  
三倍角公式 RaiMK\z  
> 8?PS  
　　 q66rBG?s  
[>U kG; ]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3FZ:DC1  
Jp$FJ=c  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Rg-{w'R  
q`.)F;k_  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) c2"-()R6  
<#bkk pF  
三倍角公式推导 Tk^+,aiv(  
=.`dP)7  
　　sin3a PX ,)rJS#  
:}NM9vz  
　　=sin(2a+a) Tx3 \SA En  
>S%vPF&  
　　=sin2acosa+cos2asina %R<`iRIv  
+[Mo'/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina (\_A-,,  
YGG:%I18  
　　=3sina-4sin³a ^*M{YC RE  
= M7-u<bC  
　　cos3a dOe2PR;wuo  
3b!4>!dx  
　　=cos(2a+a) JbqY  
K*Sf$h/  
　　=cos2acosa-sin2asina _ q^ew  
ZN8-3,1.]  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u,uv } N  
g|w{Tn0!  
　　=4cos³a-3cosa fkHy.BR  
rC],W5V  
　　sin3a=3sina-4sin³a d24m)fE  
V r}Ie0 {N  
　　=4sina(3/4-sin²a) 7Dv' kHr  
^"8F#-;w  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E}a%^5)N  
lU_1Ye  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) yBO{s*'  
IB#9B\d5  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Z8`,| {r  
Ica4E}Pur  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,=hj{?  
>>}5k!O`Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) YzIM5[S   
WBnDR'@J>  
　　cos3a=4cos³a-3cosa tQw,V$r  
I\dDA7"_  
　　=4cosa(cos²a-3/4) )A:cw";Iw  
z4<rENp8  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] /9z^@UfO  
S ,.Q&mrT  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) rL}7F1&  
}v ?Pru  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) UjXc\&G  
#f61Zs-w#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} y /O: <9k  
|^*"8 V  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &b8+QA7W  
=!^TpwJ'   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] fM/ss  
, s-6-6C  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |X Ey4  
M_ Wp q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) l0500*8a  
f^@QG18>  
　　上述两式相比可得 -6&z@2v  
8-%Zv%P  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1\-C}*'H  
DCD^*,sv  
半角公式 I5I('"CD  
/MrhuF)mk  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .~GUDf  
, _f,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. YF`uU<}+  
JjL C(  
和差化积 _V:7>TTf50  
 l $| M  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] g)~zmI"z]g  
*hrNRP<E  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tRSuXv8o  
4P.T6:^S>  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N]W~@5~u-  
AHXH2t >s-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'L/XhZ? ~  
)005[S)  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <Y xG `pA  
C#7vW94  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) aKI<Ng,4v;  
l>!|?l?  
积化和差 _ gd/+}`  
vG%?D -2  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _QC;{~p'*  
s{Nq[yB  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] uNrauqW  
1K!2l_NdN  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] )|l1y0}   
Tm=J*  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 8/rE|\T6g  
0X[;^zI5  
诱导公式 roUp   
x#sm  
　　sin(-α) = -sinα ]zld0S6mg  
!P)ng;jq  
　　cos(-α) = cosα 32@  h  
!S[EJl  
　　sin(π/2-α) = cosα S &xwj"g  
b]HRs]s  
　　cos(π/2-α) = sinα e*j4|*  
(O?(Q;w{  
　　sin(π/2+α) = cosα [#;(iFU[!  
_ V/F5 J  
　　cos(π/2+α) = -sinα S;QnM;xlx  
0c9W;B 6  
　　sin(π-α) = sinα BU&oVnB`R  
TMpKo$pR  
　　cos(π-α) = -cosα WkGh.Zage  
M,Gs C|h0)  
　　sin(π+α) = -sinα p<e1ZX\  
k$*_KBBg;  
　　cos(π+α) = -cosα =e2 i7)?8I  
S\}6G8I  
　　tanA= sinA/cosA S)sqY"@ma  
+.V>a  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .cQwN"  
4'+1+n_v  
　　tan（π/2－α）＝cotα f S>/US`(  
ih&V mOJ  
　　tan（π－α）＝－tanα d[/uh!*EO  
+}^yrn  
　　tan（π＋α）＝tanα cZy ~m9M@  
gq J<!O1  
万能公式 <U ! 3  
BEf7 P2@  
　　 Ni4B{ jC  
u:>D+5  
其它公式 <nw,AmWE  
}gRHF#2k  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 "FQ2*v0z  
D3-_oy}p=  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 P0%6LpIe=  
%eCU2>C  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 O EE;UhC  
\K^0H^OG  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 S ,{<}p  
I+,@mQB  
　　对于任意非直角三角形,总有 }GA/U*  
HVf;=_.0.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC smk-T:[  
j H0{hW7-  
　　证: V;DWXo:Iv  
rpI:~">  
　　A+B=π-C KSF|noXf  
w]WZaV'bk  
　　tan(A+B)=tan(π-C) EjbS.s3WL0  
$C@:H)3  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) z` )|j  
R2";gUQBq  
　　整理可得 5`N$P&=zC  
^ouWQm&^p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC YR+;$2a  
Ak <1Kv  
　　得证 _$P/GWu  
vyGk@hO  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 0c@C]4pu;7  
mM.8 CnV  
其他非重点三角函数 EJ*\yMl]  
~mB|6H  
　　csc(a) = 1/sin(a) 8tVQ 6b  
mKEFD  
　　sec(a) = 1/cos(a) >^e/m$  
P((WlA{zc  
　　 O=P ae4og  
:P(<KY:d?  
双曲函数 v5"^SCmy  
16D&CzxS>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 3(rInwv  
-^S!X7q&  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 &-?oU")  
y.P4"D  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Kupv/Yx  
8vpAqx'/  
　　公式一： =V]J@C"8s  
\!"[:p\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： yeo| {T'A  
h|^k%K_$w  
　　sin（2kπ＋α）= sinα aT`TG -q!  
AdV<QM;K"  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +ZN.dLf!F  
)s-3}+Yn  
　　tan（kπ＋α）= tanα {LE3u?z  
"_kIQ.GR  
　　cot（kπ＋α）= cotα nb{^9J%b ?  
13zN+[X3  
　　公式二： R ajz9  
|p|^"E{t  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： <'"o3*  
jNC3jte  
　　sin（π＋α）= -sinα e5;X67AV}  
u/T*9\5N  
　　cos（π＋α）= -cosα {!=Z!t  
P {7VxS}  
　　tan（π＋α）= tanα ,I L&k$xT)  
Dy` &LNk  
　　cot（π＋α）= cotα  op < N5  
t+d^<  
　　公式三： r-Dlc^#~  
9[t6[GEZ%'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :@X,` JM  
,H>D/o&|  
　　sin（-α）= -sinα X~:7+C3  
Q&yg(pIMy  
　　cos（-α）= cosα 9h)V$uu  
Od@}-Jvu  
　　tan（-α）= -tanα `m,UrQ  
mp=+1)Ph  
　　cot（-α）= -cotα W5g5lM 4  
4~Q)tY'!  
　　公式四： p1C% I ZJ@  
I?%Qsg  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r9^ ~:zo2  
i DWod![  
　　sin（π-α）= sinα FwGvTMRBg  
K l:1RY   
　　cos（π-α）= -cosα ZI9h]MQ{r6  
:H/q$"]  
　　tan（π-α）= -tanα p(}#: ^so  
wQ*BF}aP8`  
　　cot（π-α）= -cotα Ob'QhaVH/  
3d[D::  
　　公式五： #? @ 67X  
h1k ZT  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Djrw j88   
LY[1~MW.  
　　sin（2π-α）= -sinα %~A4&ZkO  
mna}zZ36L  
　　cos（2π-α）= cosα -0Fn?933]  
R`T1\ "[)3  
　　tan（2π-α）= -tanα , v1?(iKAW  
m,cx1Hk  
　　cot（2π-α）= -cotα *'f-zq8#  
=r~{9?%  
　　公式六： "6k<r;1v  
oJU 1V\-q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： M|o6I.F[  
as*TF27  
　　sin（π/2+α）= cosα kohA-T/qS  
e9jMDS6%  
　　cos（π/2+α）= -sinα T:za`G{|  
&a43bD@  
　　tan（π/2+α）= -cotα ! 8i<W|djA  
S R)o@Z   
　　cot（π/2+α）= -tanα ]4x.94H  
Gr y[=Rm}j  
　　sin（π/2-α）= cosα \C-AlKoo  
`{Th|>Awk&  
　　cos（π/2-α）= sinα &y7h:UD\  
4}12T7Bb  
　　tan（π/2-α）= cotα ?0-b^q   
8h}U2!Xq  
　　cot（π/2-α）= tanα &?!.~l&_  
 M V{31W;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `|][wf;7  
URE)XLE  
　　cos（3π/2+α）= sinα O{\^\kCO  
O2Q O.S 3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα jIC +;c(  
*0mS7q'i  
　　cot（3π/2+α）= -tanα NA19|Kju  
:H2q?zE#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 9iV3t_iM  
Ia2/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα D+V;sBa  
z:t:S TZi  
　　tan（3π/2-α）= cotα ~,4|h;M  
(~3 a  
　　cot（3π/2-α）= tanα Lf tT}  
w*$gG1$  
　　(以上k∈Z) k0 t6#  
+% %bZN5;  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 t.hAk}.  
iv@Gm&8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (nN4)FH7O4  
e0}UTBrl  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %[uIV m3  
]$i[6A33I  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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