日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 c= 8X+ +  
Y9@L60c5  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. EJWZ]p:  
>M; vZ  
　　1、三角函数本质： YiT .+$  
D;1 $  
　　三角函数的本质来源于定义 V@a=vKf<  
ZzeI=  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z &?(m0 c  
wrLE]B kM  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ^"7(lgR1q  
&*y<03  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： aKb< /5  
PQLT@qa,  
　　推导： +ymFUVhm  
$q<s _m\  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 P(rIRA"  
[Bg]LjP;g  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) VVEU<  
|aL~|88c*  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) % Di[f>  
v;gv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f!VFA `>:x  
[H5%$!h6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >zctdh8,%  
[ZVt;KX  
　　[1] 'it=j0?"[  
J7/>|4F  
　　两角和公式 V?@17p  
g6PMTtY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB H S>+>H  
N2~dnm6rM  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =878}[ep  
OK8^B+ 5  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _jL>_\hvw"  
a);grH9Ru  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB u [ r  
+dzh,E  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8 U3[+e?  
.d\4"dM8   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) HCnR4X  
Jr {)\<]>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  9;U%f 4Y,  
.av(1Li'  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) iqZ,-{eQDG  
q+%da5(O}  
倍角公式 e{}'G +  
-r{WNBU  
　　Sin2A=2SinA•CosA pc "htN U  
#&VyZ];SE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D"z6g"}u  
E,, AVJ  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） p"G> oy  
cW K&{-W}  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） )rqWgn.Bg  
*`EJq1t$=  
三倍角公式 }v>gy7V  
/p2f.7iKM  
　　 :[;!O[o$T  
1k3HjeMu|l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )/Zvr G91  
5B'S9muLQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) iW&jx  
 z }4:p  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,#E; X1~~a  
$9Ps/b  
三倍角公式推导 o);quj BV  
lm1Tct`\  
　　sin3a ?d%Aa(x  
(n1 d*VE  
　　=sin(2a+a) Gn*8yl6  
~owV?aH  
　　=sin2acosa+cos2asina Kg}i3{I  
b&XSaB$v1A  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Y,Tp*b  
hOaThci;  
　　=3sina-4sin³a ;}8u}e  
ZJ z 0!1  
　　cos3a 3h:8[  
j1MmD D  
　　=cos(2a+a) 2^N@a%,7  
i6..b,<  
　　=cos2acosa-sin2asina *pB50OD-eU  
NHJ C  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 'a/o7w  
Yu\9Hn#jK  
　　=4cos³a-3cosa $=m.|1r  
F2*M,!]w  
　　sin3a=3sina-4sin³a mLnNk-dw  
T ErQ $  
　　=4sina(3/4-sin²a) 'Ho}0\zX  
%Y!1n^tw  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] mg$@x+j  
lQKJgKD?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) NJY*BBR  
FuO:!|l5<  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :p *w9  
Kg;BU~^m  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] J4F_*rSi  
2R"\t(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,^DT-1]X)  
{>I 'P"  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ~,vSH&k%  
=`iPE6@+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]fEl8fT9  
F^arSzz  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ] 820p&  
xE2[$o!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 3jAMD)Qq  
r7d: Hmg  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 4Zq<ufN  
(-1B1x-d  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} g*k3A vpN  
D'{fwYri  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) tm{s`  
&v9:rep~  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Q|kz 6  
gIS*^Z_s  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] B=nJHxtu  
uW+[{G:2  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Ffm6b{[kA  
)sBZ"c"/~  
　　上述两式相比可得 Lpq_#  
x* lfx+t  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) pNT<@$fo  
(jlN\7FW8  
半角公式 9~_=|k  
5N,Pv  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3LWkm7 E  
Q4X@uQ=y0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. mg `x-;JK  
t\1aZb  
和差化积 .<2fPj  
u5:vP]b  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] povx1Pu.  
1)iq\Z(l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] G%'Zd5A  
]8F/1E}E  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z]E:,R2h  
m} Toi;6W  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] oMAu% n4  
` pouYh'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 62t_3F l  
7Rr3X];S=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w2{ z`Ouq  
f4;nmbnk  
积化和差 b+}X=Jvw  
i?]kB?  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1Yw}kutP  
|l"mrsc3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] TQp% @iHj  
'S]x4Q-E  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] me`w@5#  
t)GC'2:P  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (IN"t#47  
`+SQqX  
诱导公式 mTIG3u Y+  
e*6-9[b`  
　　sin(-α) = -sinα 0d,9NUa([!  
s|}zF#3V  
　　cos(-α) = cosα T>t3SDR  
k*J&QhC  
　　sin(π/2-α) = cosα Y&l@1Cf>  
#1ZG@SEVh  
　　cos(π/2-α) = sinα O ;f(  9  
fo%*R2]?  
　　sin(π/2+α) = cosα :DkXuq"  
F"T(n_M`  
　　cos(π/2+α) = -sinα K$R3KHC=j  
5="1OG qk  
　　sin(π-α) = sinα u6 kvj{h  
=b+~$__= y  
　　cos(π-α) = -cosα s bpy)Sr+{  
o?9<' /  
　　sin(π+α) = -sinα r(/N4?"!  
c?;VJJ#  
　　cos(π+α) = -cosα 6yRn-ES  
AO1/e}   
　　tanA= sinA/cosA 7,u:EO2  
znbi1u^(  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #)'rGC8u  
g=@a ~-  
　　tan（π/2－α）＝cotα [a,#L{<  
v6X.RTd[  
　　tan（π－α）＝－tanα /iOwV&bR&  
9oh|@Z\  
　　tan（π＋α）＝tanα Rd^Q)c>  
M80rII  
万能公式 53Qx;zy  
$m6 @-]@  
　　 g<H-{B9M  
Ae6HOW3  
其它公式 5MF\ cR  
>kR])/aAU  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2\][nKp  
A$,Xc&>I  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 P 3a[r2  
X B|w-oR  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 |9e% /bu  
'2 M<+wE  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L!)+} *YW  
+J/b $)h  
　　对于任意非直角三角形,总有 '~CL  \G  
:\"w"~6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b*KJ2 O(  
~;O)b*cR  
　　证: 8vQ2 c[HL  
LTS,e"P  
　　A+B=π-C lH Y:[V!  
=E!b6^,-  
　　tan(A+B)=tan(π-C) xA !,"*p  
= YM (V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >2<r$\dUx]  
r vu0n#S  
　　整理可得 'mov+]lC  
{P*dyW:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5g9\ =n  
>r eT3;;B(  
　　得证 (4p,Z7/'9  
wvGs8`JF5y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 FQ<G&u  
8xfbb+M  
其他非重点三角函数 g4I)vuAq  
76K (1 )  
　　csc(a) = 1/sin(a) :c$  d/  
|RpQK/f  
　　sec(a) = 1/cos(a) r 47s  
pqr _K-!  
　　 HLhZ L9?6  
|6qY^2kM  
双曲函数 ox%k -2C?  
fbM;uZ9t  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 %#4r4cL  
`z& bS  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 -v\&Nx\  
C4w{\o+  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) C2cQtR+i  
VMd'd95  
　　公式一： |N@ tT!  
1DIE~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +!n;tA3@  
"L'/T|9]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =[Db r  
z`s.gJ(&rk  
　　cos（2kπ＋α）= cosα '5!90O|p<  
a5a z}8,@  
　　tan（kπ＋α）= tanα v2yw;{R X  
sMoP.q {  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4q67s%n|-  
},%GM_qE2  
　　公式二： bO''Z 5#  
V( *g  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： }%a4b,  
@Y?`)\NU-'  
　　sin（π＋α）= -sinα ZN%uE`  
Rw`e1G,  
　　cos（π＋α）= -cosα PH-~i  
V/A!&v/cS  
　　tan（π＋α）= tanα .7$=CpZEv  
TRR(ND 4  
　　cot（π＋α）= cotα X(C. w^g  
Fi?y8'b   
　　公式三： 3.at[QO  
8Bl}z/ S"  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： kW2GNN59s  
y*!w$Hy  
　　sin（-α）= -sinα VWyT)x/L  
rebC"'4I%  
　　cos（-α）= cosα t rK;f<  
@B h}J%G@z  
　　tan（-α）= -tanα 1j/Md&k5  
"JQ c.s  
　　cot（-α）= -cotα <"6.Le>nW  
JP<gN0o6  
　　公式四： 8hr7%2h  
eX4B;KSZ~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =L:2pJuD  
v v?IO  
　　sin（π-α）= sinα 1(R<WS){  
.UR} ;8  
　　cos（π-α）= -cosα {2}1L~,*c|  
6nMI` D;xS  
　　tan（π-α）= -tanα PX vpu)|  
~<tstU^!  
　　cot（π-α）= -cotα o}gN=a  
60w#{6pS  
　　公式五： Nm7 q@)o  
j+ng[DbV  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Q|&}]~g  
OXa7XE~  
　　sin（2π-α）= -sinα FF]=i3b|_  
2/3sNNjT  
　　cos（2π-α）= cosα q,]F&9  
xg,HG`  
　　tan（2π-α）= -tanα a 4%C! {uF  
B'|3~v)]1  
　　cot（2π-α）= -cotα tTG ky  
(uwHu8  
　　公式六： {1J# 0xH  
`)Sa 9`/f1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： TP~j* 6J  
kY"qcrk.$  
　　sin（π/2+α）= cosα @;A(|N |_  
:%qN 6(  
　　cos（π/2+α）= -sinα t2A v6}G  
tyOZ>6WRy>  
　　tan（π/2+α）= -cotα =D#zp^J  
+I]htaI  
　　cot（π/2+α）= -tanα ],- oF|{  
o @d>5  
　　sin（π/2-α）= cosα 8;#)%:Vl  
v(dc~LC<  
　　cos（π/2-α）= sinα s*?@<  
I;-E?y5G  
　　tan（π/2-α）= cotα wHqs1}  
6W` _[[xc  
　　cot（π/2-α）= tanα cQS5cxq5&  
}tGRV9%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα vg ezK  
"Fj2N\k  
　　cos（3π/2+α）= sinα $9oPl[p?\  
aMKd a:y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]=08fIx[  
z!.!b 3|N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα \p NT_  
/} ;S};4  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Qm=lckd  
qun2Y'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα pIsIGzm6  
(N`6xx  
　　tan（3π/2-α）= cotα 8?6 bXWS  
{jPXNxo  
　　cot（3π/2-α）= tanα %[l#'tXs"  
u! ,U '+`  
　　(以上k∈Z) *kpP >{  
wMqr"zS  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 o>l ~iT  
k=q5o0${  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ,;1o #f&  
Z!\q4s6  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 2o'kQ*  
/{F2DS[E'  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15477) |  收藏