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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 %KTy^ }^gE  
3f{cT b<C  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. qap :Z$  
rha)$dLN-  
　　1、三角函数本质： %2!cT \  
Q"vzcv  
　　三角函数的本质来源于定义  urHOQy  
E,,&\|c#wP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 M[R0=9Z  
e 1{[/Q?v  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 i$9cwQ<rx  
N0('AR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 2KVp"+W1  
4O-=7A%  
　　推导： tBmH=9c  
E(F4JFk  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 O1g 6h!0  
rN.=kIwtA  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Y"_nFIX}#  
@%"[7p-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) _JC5%<;  
0_S5 Mn  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 mh{} T?*`  
C>'6K/l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ${)@1k6Y  
QWc > 4N!  
　　[1] '7]ta  
Qd[}X0n]Q  
　　两角和公式 z5v8a?]%|  
m/x5~EUE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB v4BZmSbW|Z  
AWk%F[]u  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  n$"E"O;  
heP^s@D;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB vNfZLh7d  
[cs>v-L+t  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB !4w~D1nqb  
#@O-2>*  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) eY0;f#[PF  
@ORh(=x;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 8,/M-Zk{  
Tv&<r@  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  LTh!*V[B  
U yw 2-s  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) wn9DM/{  
l{@u|c}  
倍角公式 o|%5X .  
!p %Y+  
　　Sin2A=2SinA•CosA .4&(Pk  
+5tph>~8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 bG4@j6x  
j 9\p3}}m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） @P~[{E*  
V|}/et_qK  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） xb2MutaZ2!  
o4E b*g  
三倍角公式 =N]7$WsY  
CL4Xlb]F  
　　 @bfM0lpV  
@6k+gm<o{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rX|@ ANvD  
l-ev\|S~9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Uo]v}MOo +  
y z=~:xD-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) \7M|=#|  
xI%8  
三倍角公式推导 ~mjBPFT~  
YrT_q j  
　　sin3a H[OD;03v]  
^NUp W!$L  
　　=sin(2a+a) Zb3h'7Fr  
1;XKl;_l<o  
　　=sin2acosa+cos2asina Yt; Hq  
f$awaF?E_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina m#R<T n  
=EkwP  
　　=3sina-4sin³a k5Fn]  
=)x<$QOj  
　　cos3a DAdkHbg  
ngu=ae-4  
　　=cos(2a+a) "A|(P5p}hD  
) xP_Tb:  
　　=cos2acosa-sin2asina bG?gruhi  
i-izSNo`  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa |&Q?NB Me  
@HYIU:7x6  
　　=4cos³a-3cosa {-T~OcH,  
nWc |S,nL  
　　sin3a=3sina-4sin³a R2PqfW(vv  
mV~+*[8W!  
　　=4sina(3/4-sin²a) + 1W7Fx7Z  
)Y,KZ}8  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dh<&L*8zw  
Hr.v[~+  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +8-!7V  
=L3tbFw@"w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Bb`(<I@&  
G-,r^o  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] S7K_A  
gjgudc"y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) GUAk,^  
(SKWTnz g  
　　cos3a=4cos³a-3cosa a/O^ L>  
0 $ qW\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 8R 5oE  
rz[wy-C"  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] U C6vu^"&  
p&/ E\JX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) e>cEb'wk  
q;nd*]x}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +)HZb(60*  
'M/L *jE  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} NQg#pC^  
VfGtolN,  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4>})ZT $  
p"=B {;d  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Pqh h  
/y@I5-DH  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] /hk@:a+  
CyF883  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  }R/y  
g,st$xy  
　　上述两式相比可得 R>}Gbzz  
!6; f4#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Gv @W5#\  
plC6@$\  
半角公式 BAiPm   
_7|~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #q.Mz4O85  
#yRLJGws  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. wvB6-_  
fy{B!6gH  
和差化积 KiLW>NZ/  
n"adH%<!0  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }l8i uzR  
Un96}A  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :@yGE8  
Q Dj`&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] eC(.! x  
~:xpifV&MJ  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FHN5o< x1  
<A02CTe  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) u89S/z  
p*WTJ mJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) SgoPSi!  
[.b98Q%  
积化和差 C>rZ+=q#  
M>g &r*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /$2Z`]}  
U2;s/Zq`M<  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] O""<S(Frdx  
q[]L]C`Q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dm'AIdS  
^@eoySk  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] HmG9xI  
@{$yc^B9  
诱导公式 Psba@v^~  
j$!/"UDyy  
　　sin(-α) = -sinα Lb_GbKiBz  
2 ?G&{H  
　　cos(-α) = cosα ?hs,f-  
NxG(U S  
　　sin(π/2-α) = cosα Tj]PPQ  
M6Py8^$#$  
　　cos(π/2-α) = sinα -v +S-)t  
gW-'1x  
　　sin(π/2+α) = cosα {Si I`  
|^ v ,  
　　cos(π/2+α) = -sinα _)IGQM1AN  
dcM!)# X  
　　sin(π-α) = sinα R<If@'np<  
O`<^>*?"!  
　　cos(π-α) = -cosα 7thZQ7UD;  
p$HqU q  
　　sin(π+α) = -sinα 6n)p;d[ Y  
*-4 w&I  
　　cos(π+α) = -cosα {DA<Lb_T*  
; 9Y9  
　　tanA= sinA/cosA ge\~El  
/]>&8HS  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα q!\*5v  
;[4dZh}  
　　tan（π/2－α）＝cotα lOi]fZ/?D  
|Cdg$7]o  
　　tan（π－α）＝－tanα ERzb}gg  
h+SI_(\\  
　　tan（π＋α）＝tanα u^]8C}#  
NA2+(>a  
万能公式 " {= I+m  
@zQ3p~~KK  
　　 tVN[\Y#.  
":`<,1KPG  
其它公式 {K&ga^  
H5l+z?F )  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =}&u`7 >  
ltPGZV+wC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 t@Jv0r,DB  
#3 :m/] B  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 92OB7kcM6  
=&x   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 vMiD`@CF  
*h)PCJy4=  
　　对于任意非直角三角形,总有 !MOl TuL  
_ v pTX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l|,Gnzb X  
kZTu 1N"  
　　证: C>ID&p5r1  
*drD6  
　　A+B=π-C >ZZ!I,T%  
"Gj#1*0dkQ  
　　tan(A+B)=tan(π-C) j)| #^PY  
dzyT\l{G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) F b{-@XP-&  
_ qU"!Z  
　　整理可得 r T%12xjr  
_)dh"Ylt,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gkMMM7)  
Mz!eMy'}  
　　得证 ?.z+_e8  
" _f6z!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 17G5s'~G  
lGuFfsZ-  
其他非重点三角函数 /w ~v8W  
Bu^}9_*0  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~xMxtJD  
E;cKxtth  
　　sec(a) = 1/cos(a) hTpjqzED  
oC<:_{`D  
　　 }&#Z  %j:  
kJ ?7sK  
双曲函数 z_014hIs  
4.N{!g  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 AagcwXp  
e#..:#c  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 oWzd( {x  
s&kqt gw$y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hS2vrD{  
`: s wQ{-+  
　　公式一： NYA| (j  
p4l   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 1krb85a O  
B^|bud<;  
　　sin（2kπ＋α）= sinα E&'>mp>dc  
I`7J%vz  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7EOkgJG\  
g5xI~/ m  
　　tan（kπ＋α）= tanα }/;w%<8  
Z.|H< y/`c  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4Xl8I!  
FJY&n]9'C  
　　公式二： 25eBO  
]LNUV\Ao<o  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： j3YZ[\T{E  
~Vl75jEQ9  
　　sin（π＋α）= -sinα i O:vpV  
< sA@Y  
　　cos（π＋α）= -cosα ;PF2 O4  
CC+>Q jJ  
　　tan（π＋α）= tanα pzjQ]T^(  
ce<KA v  
　　cot（π＋α）= cotα wqYGJH6,x~  
&Ne>@%  
　　公式三： ; p ff>Vk  
}Fa~g0  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B{0Wbku  
<-,$XI  
　　sin（-α）= -sinα lq7 %!_.  
w{Pwd6*2  
　　cos（-α）= cosα 7V -GCDe)  
K t[- 7T;  
　　tan（-α）= -tanα J(NYWg  
lOHLF?F 1  
　　cot（-α）= -cotα G/zB: n4w  
@LI~wN7g  
　　公式四： +j7_;IF=z  
C)8 ["@,  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： bXAK/,1  
("*= r\  
　　sin（π-α）= sinα G3a'Nrc  
e 2#y| $  
　　cos（π-α）= -cosα Q<p0 #  
, .J+1i+D  
　　tan（π-α）= -tanα #)WS=j `p  
B se%$h  
　　cot（π-α）= -cotα L[bj(~q4rb  
.]fOI{  
　　公式五： ,/r#u%  
f$)= 8Ys  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： w/_T>$9  
h {>:H rj  
　　sin（2π-α）= -sinα $<% +? }0  
2lh=l,R?  
　　cos（2π-α）= cosα H;AN|^j  
}X^5n*A{R  
　　tan（2π-α）= -tanα Ec,QV;s#I  
JEIwIDQd  
　　cot（2π-α）= -cotα %~8h:&t.w?  
X{5cQX  
　　公式六： `w&i-:ce  
O!7.`,A  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： apG4f4lf  
\Qm@y t.  
　　sin（π/2+α）= cosα KB7Q--GUp  
z+a;qc*  
　　cos（π/2+α）= -sinα Y:])R)14  
:|!k:W  
　　tan（π/2+α）= -cotα G$1Y: -  
|7*j:Lzy  
　　cot（π/2+α）= -tanα gS;{1z[]q  
e/}*Z|# S  
　　sin（π/2-α）= cosα &aZCbO  
4Cd]efeX/2  
　　cos（π/2-α）= sinα @Z&xd1`L  
*4n4z!qH  
　　tan（π/2-α）= cotα JS\miqu  
&v'|.y:7  
　　cot（π/2-α）= tanα f8XkS.5C0z  
"~Uz)HFb[  
　　sin（3π/2+α）= -cosα GqX<TFYA-  
f8a Z%f  
　　cos（3π/2+α）= sinα TPWcL}!  
a}aMIy}jJ`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα e 5f\Cp?  
|1+#?7^[-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα z3Op,L  
5 |+YZ/>  
　　sin（3π/2-α）= -cosα P2t$Van  
K<i<Er,K  
　　cos（3π/2-α）= -sinα P64D=whU  
+c$@<1!nA  
　　tan（3π/2-α）= cotα  NkI(qE  
v/ X<s&A  
　　cot（3π/2-α）= tanα PFcmlgW>A=  
dc>;{a33  
　　(以上k∈Z) 3 ?$Ad\V+#  
}[zNJ_H  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *`kimvPX  
m@'VfW&N  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = UohEi_  
 V!KsUY3  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }3 FsBEA.  
*PBsL2:K@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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