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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 R],s Rq(  
_;f|   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. `8GA#z[`  
AJ7{)MzZ  
　　1、三角函数本质： ?!?y9 \  
1ggs:  
　　三角函数的本质来源于定义 hNnQCPQQ  
z2vus  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 elm%{;vj?k  
D>FX+5msH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Zq$5da,  
ciP<N#Z=,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Cq`'iWYi  
%H*:'<  
　　推导： Ai2wgwDT  
hJSs9y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %>I ?J+;7?  
JgX$";  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [|hQ^  
= CoPdxu  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f}<|  
0KmX E2  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Vs6B@sq  
~j ~-[d&  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]$K=J'J?7  
V/kW(&w  
　　[1] pq= ltu[%  
|_hPR/0  
　　两角和公式 wD =oEm  
OgMU%:a@c?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB zT y9?po  
n8{IEL{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /} h(2+_  
Q-z '$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB L5GI1'.  
tj&1!tlrd  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB >6~Iu@=  
F6l _ fz  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) D/8x)'ITG  
+FfM( 9N  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cXqB|,J$L  
ampJz&LY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  fH3G|Pyi  
D]z)!>  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7GJ$t"r  
>7//}$7  
倍角公式 o^d! 89,  
' Qm1i 3o  
　　Sin2A=2SinA•CosA ELQO6}T  
U 3Z J0A  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 eQTGE; Tg  
"eo9G0PS  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） eq.E ,jHt  
>Oy]bNND`  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） akQg!E  
Yt<?NkN%  
三倍角公式 .UwgART%K  
HoG=`|c$  
　　 9}I<5p,t!  
T':>hj  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H,D4\n&<  
]Lh'-l0?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) (*AZe\=  
M 6CM,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) iYv[cuy  
dA1 3%Z0  
三倍角公式推导 cG,nMFF{oM  
efp t32u  
　　sin3a qoh@IsHK  
$PWn,5#C  
　　=sin(2a+a) t:rP+:}  
\uNYaQf(8  
　　=sin2acosa+cos2asina kMPbdIQ +  
Yh[KhwW<  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $uZ}n!  
c!|G(&h4  
　　=3sina-4sin³a u\veosr7-  
^rp=IvT  
　　cos3a uP )dmW2D_  
sSKUko  
　　=cos(2a+a) $"b":K,-P  
ar"lRvfC"Y  
　　=cos2acosa-sin2asina <Zx :Io*  
TmN1w0"[  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Wkn0`Z"hDP  
- DD[ ,R7)  
　　=4cos³a-3cosa jA//<I^jz  
U;:w6YW  
　　sin3a=3sina-4sin³a u mV   
Ixlm$F  
　　=4sina(3/4-sin²a) B&^c!|cM  
G B .iq'  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Mt%X^ 5  
/j z=Y  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ])GE>ic  
sPy  Y:  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :A9Qc6i+!  
A"-SRm@VF  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] $aKqchJ  
QH0& C0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) C2 LG  
SP T[Z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa IL  f(@  
p&'li$hE+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) {,dMRU5  
oB@Z,w9  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] &(\km_mJH  
YL@zH}]x{  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Tht%);hH  
G"3Jx v0s  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) YbJ3O  
b4`~e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @k/.k  
4L{4zs7/#[  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ruTYlO  
:Td=(#g  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] P$#KNLx(?  
@2Dp}jN}=q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;_L<\bPI<  
r='`&`(  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9y#$~<>I[  
7J],y,\e  
　　上述两式相比可得 aV-qYr`rF  
jXRZ;dU  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) p.rQWrm(  
|Jbh+Tqc  
半角公式 )4~NhE0  
p6 */RJW  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @u\t^gv:0q  
~AiG> m  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $9&DyigY  
X'C TiKJ  
和差化积 Eq6'wfM  
9y%* x?3'(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] e+Q 9WJ?  
FwU`r1}"Z{  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2w)uJk_Z  
58V /TM~t  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (2^ N}1q  
mH uB 9D$  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] apfo:#5bv  
!' c|R+ 4  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) H u_MS{V4Y  
1J =#Q)3n+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) {V;}vey  
c9xeH~;"  
积化和差 +w FTT  
`p<p1U|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] x_aoC2x-D  
v3O<7]w-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] |ap}cb2.sl  
$Xfft',X  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] }~&75u]cf  
ojRXPP| g  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] WRQow2}|Cs  
q-ZiMiEUH  
诱导公式 +o[GMBOI,  
m c{1E  
　　sin(-α) = -sinα +~\ hy&!  
no]@k  
　　cos(-α) = cosα V<a% ~F  
m~"2R]VF  
　　sin(π/2-α) = cosα re.L~SjY]  
M 6} ~  
　　cos(π/2-α) = sinα d>A#Rj;A>  
'/FK@gmb $  
　　sin(π/2+α) = cosα DUx .e=  
? <\G<%Y;  
　　cos(π/2+α) = -sinα =+g^PG5 K  
Mm~ 1U<  
　　sin(π-α) = sinα 4\[`Nx #  
w1UjXFv;  
　　cos(π-α) = -cosα kJ% H  
}W^f|  
　　sin(π+α) = -sinα O?^LA;Hq  
I$ @sNnt.  
　　cos(π+α) = -cosα X&aAq_#bBy  
i nw;RD.-  
　　tanA= sinA/cosA ta+ {vhG  
 AbmT2P  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα aq[ 2 )  
#6sX|rMh  
　　tan（π/2－α）＝cotα fCu~;'  
.f*wzD[r;  
　　tan（π－α）＝－tanα n9z.E Y  
~tczV]b  
　　tan（π＋α）＝tanα K0ht  
T.I^6bXq  
万能公式 lhsv"\T  
$pxVg#  
　　 z7b(;>@  
F%rG?&  
其它公式 {_MJiF.  
Tk!0&V  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Todnt \O  
@]5Ryw 4)  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !s<6X;`6  
Z{iM=y]?V  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 P&K*|I,  
Zr2Cg@"~  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 <;vBv+  
sWM3uM"=  
　　对于任意非直角三角形,总有 mG^7)9+ :  
y4FzD%qX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u&9SA  
og,:=Dro  
　　证: _zLUp?H  
Gvo2n5>?  
　　A+B=π-C M}:FsI| tG  
*:'K}r5  
　　tan(A+B)=tan(π-C) <Fc"Tt  
^;3iDy#U  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) odAQ3l7k  
$w(rv`Fwm  
　　整理可得 Ws$][l"  
cc:QR="2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC C -?xPhl}  
E:*viT'O  
　　得证 v%Di!@*e  
g_2pzg?  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 t)qv%Iy  
!t0Z8.ki  
其他非重点三角函数 f9Q &#  
nd3ml?  
　　csc(a) = 1/sin(a) z9'*5liM$  
kQ4)EKB  
　　sec(a) = 1/cos(a) V]Q%3/6|  
)#wHak5  
　　 rBG6M&)m  
8,Vjs Ce  
双曲函数 Wc|JXa  
^JX771mC ]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x8Lv1% n>  
7$2bGZ\F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 EqXr;on",  
|Kw%y g  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) P \Byzja  
MAsc/d  
　　公式一： x2#+g3EK  
RU0;} M{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &)xy}  
( E`  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Tm?p3-/b  
F'!7TP_VZz  
　　cos（2kπ＋α）= cosα *.$}sgP,  
%Li;n   
　　tan（kπ＋α）= tanα B)-,aw  
iyxlcQ%4  
　　cot（kπ＋α）= cotα R/u^!Ev-V7  
/ {<b4Osy  
　　公式二： 5!BT*Nou3  
7{"k Z Z  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Urr1(U  
pQ<a+0n  
　　sin（π＋α）= -sinα 7k Bz7:  
h&+-'#A>X  
　　cos（π＋α）= -cosα C$kjQKN  
x&s5m  
　　tan（π＋α）= tanα WPhQc@7_h]  
A}6<AT66y  
　　cot（π＋α）= cotα Fnz7Cv0  
q 0MDPu  
　　公式三： {B5wK~I  
r]T:SUW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :/,/~RSr  
(h>i#$  
　　sin（-α）= -sinα `n|4I5  
V\|XYm$?2  
　　cos（-α）= cosα p:\ =  
vM'ZHJ%oi  
　　tan（-α）= -tanα n-J;PO 0V  
Mc/\e%Y  
　　cot（-α）= -cotα F 8ky  
a.DoULWcI  
　　公式四： 0'Kw*Pweka  
Hc3u!{/3<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =W8^p_w  
>@,=Kak:L  
　　sin（π-α）= sinα gt(|D}z^  
]n$5Fr1/  
　　cos（π-α）= -cosα 8NyQT9aK  
xJOrH =#  
　　tan（π-α）= -tanα Z*!cZtG  
koXo-Zh6  
　　cot（π-α）= -cotα 0d PR  
SXSV?@2]h  
　　公式五： v5wKPGZ2  
.5{{Gb5{  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Yv#xmV`u  
)9q5a aF/{  
　　sin（2π-α）= -sinα zn)eG5Y  
tjWE^t>  
　　cos（2π-α）= cosα blZrCej{C  
FcUh{ To])  
　　tan（2π-α）= -tanα Q] {~  
xOaIQC.  
　　cot（2π-α）= -cotα jG{?#l,  
KmnJAQ  
　　公式六： GJ(W9DD6  
qV4Ujlp  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !0>5?i'zY'  
RBiLd#q  
　　sin（π/2+α）= cosα gI9vBUy%  
J A LezNp  
　　cos（π/2+α）= -sinα U>|/L|hn  
 Qw>w~7m  
　　tan（π/2+α）= -cotα xCr .D9  
bq# &uk  
　　cot（π/2+α）= -tanα JOE"$Hb_M  
|DjUT j%  
　　sin（π/2-α）= cosα dG 7G-  
(4>bXnz(  
　　cos（π/2-α）= sinα uOBx5RZ.  
x2Mu:e  
　　tan（π/2-α）= cotα Yh-9^C  
@K8 C/b52  
　　cot（π/2-α）= tanα ~6}% 8+,{  
VY'7GYC  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Oawu38xzZ2  
M7I84!JH  
　　cos（3π/2+α）= sinα crRt88D:f  
!3ba7]ub  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Y60$PZ]L;  
[@z/% A&8F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα B9/U=Pq  
6X3@}[lO6  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Aj!>ViL  
l{5d]Vp%u  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +]U<vb8  
L}"bb5 ,  
　　tan（3π/2-α）= cotα OtKfots  
ZAhkY0q  
　　cot（3π/2-α）= tanα 42S%>,{J  
eRn6*h~V"  
　　(以上k∈Z) M2r,rh  
[(/y/i+hD  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 _f y@';  
f?{'2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = P(2(ES  
mXvG3+b +i  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } FH$)(S0g^  
>[cB G/  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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