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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {6$^/6^  
pAFq6TJV  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. o1+8OR  
: 5,nw  
　　1、三角函数本质： FfE3O!vs?  
Z\}h7R;G  
　　三角函数的本质来源于定义 w3Sc#y  
:Eb7;.,  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3/"j4.P;i  
oG*">H#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Ja;+[{W?  
'`<O8Iu  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： hrh6 G=  
L)}yLO|s  
　　推导： l^.j|dLV  
0IO"R q0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Y![jan  
DkU?(Wr8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }IwKp[e{}N  
{x$_zG G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) EJ)M #k  
2"'OR  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4 ur{yC%  
4>`Qa1R4"t  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） D'/6EXhL  
,:Rz8 +  
　　[1] ~v&FUEfW  
Z+QUQVmA  
　　两角和公式 /Oum?0gvr  
.`/g/nM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3X]7RI<  
4sJ9^  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ,,=w;@  
" {MMS>V  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ZHp~iDi  
ZK8L`  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB lwJSd} ixI  
#W1Yc\{Dq  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 2lH L;.u  
p `R4O&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) JvW\h<]  
zo5\ "  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  D(6l/?{  
\0l}IK!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) |B\< n;O2  
/6eiF3:p  
倍角公式 Ewk;J a2  
d7 t7Fm{p  
　　Sin2A=2SinA•CosA :[_+  
JPrn^i[XH  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Kg,4Q6JkM  
M)M3s!ru$  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） c&odbR$  
[EXN`V5  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Y[5kIANa  
mYRLGu&R0  
三倍角公式 m=P.rXFDT  
zW%9U?M  
　　 1-}ap  
cb.a83n}  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }|-ip"|6b  
Bv[b1Lj-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Jce?~Ik%Q  
m%0N|/&  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) M,[o:v2}w  
S,r8v2LA,  
三倍角公式推导 s .;5@V  
fM_UrO"  
　　sin3a ADcgCz e  
IRD ,%M^  
　　=sin(2a+a) 'VUBBUaL!r  
i0!YE"}3  
　　=sin2acosa+cos2asina |W&9m$}  
)c{*%:?ij  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina dtXiUX>v  
e mlRDO[  
　　=3sina-4sin³a B[Bo9  
cvp'$Z  
　　cos3a ivCT6Prn  
;*Jjtb&l  
　　=cos(2a+a) yZ +4ud8<  
01&0?lq  
　　=cos2acosa-sin2asina v\ZITk  
-4=}mq0YlQ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^ rk;u  
$;wS @5M  
　　=4cos³a-3cosa TVTc__  
m'Dr \]B  
　　sin3a=3sina-4sin³a 6Z rS`5?  
8I6.hZ+H Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) wD<3R'/  
zI_D%A  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3Y\q;D-=  
~hlCte  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) x,R2>s^wr  
Zr%+`8J%  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) BZd\UvC2  
!f3elp3F22  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] AK/1/p'Ix  
,y:sVL. @  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &.Rd|.}8  
8_Ym`4-\:$  
　　cos3a=4cos³a-3cosa WrNvxT5o  
'S*lQE@[0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lk:n"p3^^  
=^D*= >]Z  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]  aWMvSe  
L=ZFoJ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *-Ma>L$E]  
}eG]zs_  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ETpUT_  
$b\Af$36  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} F:u=|TP  
T0#m }:ca  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {0hc>nM   
SA|1}@  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _FK`R{`3+  
8 @&If"<C  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Ff98I}T2I]  
wQ {|9Ugj  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) /cRs5C  
T~S=n2$-3  
　　上述两式相比可得 SD)F97R%R  
]y+\r9{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  >S^Y4-r  
w( y"'*a+  
半角公式 <:LSyCt;HI  
]f $  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7235`iVl*  
eCJKZGB(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. D} 0[wS^  
*dTq8+$(  
和差化积 ;;pg?{%p  
BznccL"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :C7|  
= tfPWaz  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] f'lTN 6|  
h2 }A{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 14&;Z%MW  
ihG y0a  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rPMTeH#I  
8*0bwFJ}l  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7dg{!W^cI  
sPFP-mC-  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %&k%gVSG  
C`a=9/QDq  
积化和差 4*C\q  
c6!]rHh  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] #V`+MUY #  
=%!!xSkf-m  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ].j@y4jK$  
fMXcm;&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ua4C!h*I  
:1Hn+IO  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]l>y6df  
2ukr1Z d  
诱导公式 9G_AM; }Q  
AH{t44<v  
　　sin(-α) = -sinα T~ptdbI  
`X-p0fg  
　　cos(-α) = cosα pGr8U4YA  
=C5n] TC.  
　　sin(π/2-α) = cosα Q%Yh)q2Nt  
{TJ 6D2ho  
　　cos(π/2-α) = sinα zdMWFF7R  
HwI "Ih  
　　sin(π/2+α) = cosα RW}a,#=l  
J G5^B  
　　cos(π/2+α) = -sinα dz<{se $i  
Kg-#(_HB  
　　sin(π-α) = sinα 64E('lL  
D*^? 5K  
　　cos(π-α) = -cosα ;{IW"Qz~s  
(2#cF$<TfG  
　　sin(π+α) = -sinα a2Wx_;7  
t+?3n u  
　　cos(π+α) = -cosα <ZDq .>B  
4RR%Z(BL]  
　　tanA= sinA/cosA Ts, s%  
-7hpL fy  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $|F1 SI'  
v!TVprhT.  
　　tan（π/2－α）＝cotα Z|o;-U1Wj  
!T m# #E  
　　tan（π－α）＝－tanα w:`(V;G#T  
$a]TAL:  
　　tan（π＋α）＝tanα  St(  
=im[|0@96  
万能公式 H +Zmj5~^  
fi@fe-g<  
　　 &K/"7OQFV  
EhI`XoQfG  
其它公式 99Ap}0[*  
&(p*/!aEnS  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5o^Z)YYz  
AGa;R?W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?Y9g&3  
\O410{Z  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 EGP  ;mR]  
-M.w^H2v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ixAXP K  
OQHG^c  
　　对于任意非直角三角形,总有 IzzPHLA<  
|DArgxLC8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC c"xE{C>  
*?Z'j 50r  
　　证: E(bi/]S  
rgiNJDl%  
　　A+B=π-C B9*' 1;:  
XOAR_ T  
　　tan(A+B)=tan(π-C) bRKw)~a6  
l5XWm\'2  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4TVriN"c  
3)HtJ?  
　　整理可得 9#`qk${  
tzSic)5Wl^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  kZUB  
OsBGS{M@  
　　得证 Rm32$t{K  
{oSWSy"Wwo  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 kAai+]Dhbm  
qm<&g}Pp  
其他非重点三角函数 85=wLgH  
cNPr(  
　　csc(a) = 1/sin(a) L~> {)s9  
X!,}q&`]  
　　sec(a) = 1/cos(a) |')qEz  
&5?#+CnM?.  
　　 y0EHin{z*)  
1?q)|!"IT  
双曲函数 _[ gNC9m  
$h.gq,ekz  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 L3QaO'iv  
eQ4Z|;/  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 s\?hDA]  
=+0.Ck| c  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4=RGC.  
xx1+5rqb  
　　公式一： G&(+  
n<dAP(%q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： `@Lo&U  
oB{i: `r4\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα xaQa2(.  
E) S$ce  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @s)z@~'bUb  
b5fO+8n  
　　tan（kπ＋α）= tanα (U2k^hR  
V\b*XPAX  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]s \<R  
' r\Pu  
　　公式二： n'{H_]GDoU  
]X35  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |YZ$s ;?(f  
pF L@E0 3;  
　　sin（π＋α）= -sinα pH%t`=P[+5  
{>OS{Ug 3  
　　cos（π＋α）= -cosα l-oT:u,P  
;t@[q_R~Ly  
　　tan（π＋α）= tanα kCmUK;  
/SwA+}2 d<  
　　cot（π＋α）= cotα -TUUCLdOXi  
lE# ]!}@  
　　公式三： we4| Sej  
+O( i'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 'Dkn"zXV}  
\-SHc1T  
　　sin（-α）= -sinα Sy ~:#s$u  
L`v:%LXt1  
　　cos（-α）= cosα ,=|qL:cA#  
U-[sN-?  
　　tan（-α）= -tanα d>tBibUL  
I` / % !(q  
　　cot（-α）= -cotα 0 Ow$m  
n=CH  
　　公式四： @YZqc O B  
D6']a1Pk  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -5E7yAJo2  
Uj'I a(q7&  
　　sin（π-α）= sinα fn-sQ-T^a*  
`HVIeJF>\  
　　cos（π-α）= -cosα gX)qrk,  
R:{%&o  
　　tan（π-α）= -tanα $ %\JN sc@  
*$cFgE4-  
　　cot（π-α）= -cotα | +Fk!dE  
mv3e|(yO  
　　公式五： o'"Xi" =a  
wW f]=>EOl  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {!Yw'QE&   
PO`rCl"Xko  
　　sin（2π-α）= -sinα ,)O]0%. ft  
<N%P{O~  
　　cos（2π-α）= cosα D |=7E#!  
y*8 /.U?  
　　tan（2π-α）= -tanα dE91UVg0i  
 L;C5  
　　cot（2π-α）= -cotα !T\G ?l4  
6DM~]`Bn  
　　公式六： ;IrSK_cS  
A#<=%#46q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /LHRF1xSX8  
fI HK:q$  
　　sin（π/2+α）= cosα Q-$\15  
9rSot5aI  
　　cos（π/2+α）= -sinα W! -'qqk^  
1~C?Sz2dv\  
　　tan（π/2+α）= -cotα v U1~L 0+  
jjz+6D  
　　cot（π/2+α）= -tanα "S'> N  
<.nk}`I  
　　sin（π/2-α）= cosα TorF"u  
+;7]yVfV  
　　cos（π/2-α）= sinα :zg82u4  
!\VY6Kj^.  
　　tan（π/2-α）= cotα W*h9FhU}  
\FHHt:_  
　　cot（π/2-α）= tanα * ,pE(#r  
JJ_%e\_  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Ibt(_ z;C  
kMP}_bOpAB  
　　cos（3π/2+α）= sinα 3 3Y#  
@jjlZZ8g  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Z"E`<wm G  
aD3*'Z$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα eE:9|>Yl  
X:YPV  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Q3R4o 0  
93 px M.  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Bz6 r/ fm  
%\D YK#!  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^ kTUvv&/  
a@ 28RdUT.  
　　cot（3π/2-α）= tanα tK,l+nB "<  
3pC/ " R-8  
　　(以上k∈Z) \ - MUK5  
^=aC;E8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {!g.Z&+0  
hDV *)B  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = r"X%hMbp  
[2sB@  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~>G1 _;  
>by.{e  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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